☆ Le jeu du tarot « africain »

Le jeu du « tarot africain » (https://shorturl.at/vapqm) est un jeu de cartes qui se joue, dans sa version initiale, avec les atouts (cartes numérotées de \(1\) à \(21\) ) du jeu de tarot classique, ainsi que l'« excuse » qui est une carte qui peut prendre la valeur \(0\) ou \(22\) selon le choix du joueur.

Le jeu se joue à \(n\) joueurs, \(n\) entier naturel entre \(3\) inclus et \(11\) inclus.

Le jeu se déroule selon les étapes suivantes :

• on distribue les cartes équitablement entre les joueurs ;
• les joueurs annoncent, à tour de rôle, le nombre de plis qu'ils comptent faire ;
• à tour de rôle, les joueurs posent une carte ;
• la carte avec le numéro le plus élevé remporte le pli ;
• le joueur qui a remporté le pli pose une carte de sa main et le tour continue ;
• un tour se termine lorsque les joueurs n’ont plus de cartes en main ;
• on distribue une carte de moins à chacun au tour suivant et l'on répète les étapes précédentes.

Pendant la phase du tour à une carte, les joueurs ne peuvent pas voir leur propre carte, mais voient celles des adversaires.
On appelle « main » l’ensemble des cartes distribuées à un joueur à un tour donné.
On appelle « pli » l’ensemble des cartes posées lors d’un tour.

Partie I - Explicitation de quelques règles du jeu (tour à une carte)

1. Dans cette question, on suppose que \(n=5\) . On considère la phase du tour à \(1\) carte et l’on admet qu’un joueur A voit les quatre cartes suivantes : « \(15\)  », «  \(10\)  », «  \(9\)  » et «  \(2\)  ».
    a. Déterminer la probabilité que le joueur A ait en main une carte plus forte que les autres.
    b. On admet pour cette question que le joueur A est le premier à devoir faire son annonce.
Que doit-il annoncer pour avoir le plus de chances de gagner ?
    c. On admet pour cette question que le joueur A est le deuxième à devoir faire son annonce, et que le joueur précédent (qui a le «  \(15\)  ») a annoncé qu'il ne remporterait pas le pli. Justifier que le joueur A a intérêt à annoncer qu'il fera le pli.

2. On reprend le cas général ( \(n\)  non fixé) et l’on note \(p\) la valeur de la carte la plus élevée vue par le joueur A lors du tour à \(1\) carte. Exprimer la probabilité que le joueur A remporte le pli en fonction de \(p\) .

Partie II - Calculs avec le jeu complet

On considère à présent le jeu complet, composé des \(22\) cartes précédemment citées et de \(18\) cartes supplémentaires :

• \(10\) sont des trèfles (de \(1\)  à \(10\) ) ;
• \(8\) sont des cartes spéciales.

On admet ainsi que le jeu est constitué de \(21\) atouts, \(10\) trèfles et \(9\) cartes spéciales, parmi lesquelles \(3\) sont appelées « retourneurs ».

Dans cette partie, on s'intéresse au cas \(n=4\) et au tour à \(10\) cartes.
On arrondira les probabilités au millième près.

1. Démontrer que \(N\) , le nombre de mains possibles lors d'un tel tour pour un joueur donné, vaut  \(N = 847\ 660\ 528\) .

2. Déterminer le nombre de mains ne contenant aucun retourneur. En déduire la probabilité qu'un joueur donné n'ait aucun retourneur en main.

3. Déterminer le nombre de mains contenant exactement deux retourneurs. En déduire la probabilité qu'un joueur donné ait exactement deux retourneurs en main.

4. Calculer le nombre moyen de cartes spéciales que peut espérer avoir en main un joueur lors de ce tour à \(10\) cartes.

5. Question avec prise d’initiative. Toute trace de recherche sera valorisée. Le candidat est invité à porter sur sa copie toute tentative de résolution, même infructueuse.
Déterminer le nombre de répartitions possibles des \(40\) cartes parmi les \(4\) joueurs lors du tour à \(10\) cartes. On pourra présenter le résultat en écriture scientifique avec deux chiffres significatifs.